一种用于分析s平面上极点的位置和运动随系统增益因子变化的图解方法被称为根轨迹。这种技术是用来检查稳定性闭环控制系统。
因此，简单地说，通过改变系统参数(通常是增益)从0到∞来绘制特征方程的根的图形称为根轨迹。
根位点分析是由W R埃文斯在今年1948。
介绍
先前我们已经看到，特征方程的根被用来确定闭环系统的稳定性。更具体地说，闭环极点在s平面上的位置给出了闭环控制系统稳定性的信息。
这清楚地表明，系统的瞬态响应的性质表明依赖于s平面的极点位置。然而，我们都必须知道s平面上的极点位置是如何随系统参数的变化而变化的。
因此，根轨迹法有助于确定极在s平面上随增益变化的运动控制系统。
根轨迹的概念
假设我们有一个闭环系统，如下所示:
对于上述给定的闭环系统，增益K是一个可变参数，是系统前向路径的一部分。
所以,传递函数对于上述系统，将提供如下资料:
我们已经知道，闭环系统的特征方程是通过将传递函数的分母等于0来表示的。
因此，当系统增益为K时，特征方程为:
1 + KG(s)H(s) = 0
这表明上述特征方程的根现在取决于变量“K”。
所以，这让我们得出结论如果增益K从-∞到+∞变化那么在这个范围内的每一个K的值都会在s平面上提供一组不同的极点。
因此，根轨迹定义为闭环控制系统在K在-∞到+∞之间的不同取值下所得到的极点轨迹。然而，它通常被认为是介于两者之间0到∞。
因此，该技术有助于确定系统的稳定性，因此被用作控制理论中的稳定性判据。
根轨迹的角度和大小条件
一般闭环负反馈系统的特征方程为:
1 + G(s)H(s) = 0
所以,
G (s) H (s) = 1
因为s平面本质上是复数的，可以同时构成实值和虚值。因此，上式为:
G(s)H(s) = -1 + j0
这意味着G(s)H(s)也是复数。因此，对于s的每个单独值，必须满足上述方程，才能在根轨迹上存在。
进一步，给出了根轨迹的两个条件:
- 角条件
- 级条件
角条件正如我们所知，
G(s)H(s) = -1 + j0
对于等角，我们会得到，
∠G(s)∠H(s) =±(2r + 1) 180°
: r = 0,1,2 -
这里需要注意的是- 1 + j0 = 1∠±180°。然而，- 1 + j0将出现在s平面的负实轴上。
因此，可以追溯到星等值1和∠±180°，∠±540°—∠±(2r + 1) 180°，如下图所示。
因此，对于角度条件，一般特征方程的任意根的∠G(s)H(s)为±(2r + 1) 180°，即180°的奇数倍。
这表示存在于根轨迹上的点必须满足角度条件。这意味着计算出的G(s)H(s)在某一点的角度应该是±180°的奇数倍。
级条件:对于量值条件，RHS和LHS的量值都必须等于方程G(s)H(s) = -1
因此,
1、G(s)H(s)| = |-1 + j0| = 1
需要注意的是，在K的未知值下，我们无法在s平面的任何一点上确定|G(s)H(s)|。然而，如果我们得到s平面上在根轨迹上存在一点的概念，那么它也必须满足大小条件。
因此，对于一个存在于根轨迹上的点，由角度条件得到的K值，可以由大小条件确定。
得到的K值表示根轨迹上的一个点作为特征方程根的系统的增益。
这里需要注意的是，为了得到K，应用大小条件，必须用角度条件来确定根轨迹上的点的存在性。
根轨迹的优点
- 极点的位置提供了系统的绝对稳定性。
- 根轨迹帮助确定系统的增益值，即K对于图上的任何特定位置，使用大小条件。
- 如果确定一个系统的特定阻尼比的K，则可以更精确地设计该系统。
- 它有助于确定系统的增益裕度和相位裕度。
- 根轨迹也有助于查找与系统的稳定时间有关的信息。
- 它的实现非常简单。
- 利用根轨迹技术可以预测系统的整体性能。
这里我们给出了一个关于根轨迹的概念。在接下来的文章中，我们将通过示例看到如何构造根轨迹。
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