根轨迹法

在上一篇文章中，我们讨论了根轨迹。基本上，根轨迹技术或图是一种构造根轨迹的方法，它涉及一些规则，因为它有助于确定根的稳定性控制系统。

讨论了对不同K值所得到的特征方程的根轨迹作图所形成的图形为根轨迹。这有助于确定满足系统完全性能的K值，从而提供一个稳定的系统运行。

构造根轨迹的规则

对于高阶系统，根轨迹的构造必须牢记一定的规则。根轨迹的构造规则如下:

1. 根轨迹的对称性

系统特征方程的根可以是实根，也可以是复数根，也可以是实根和复数根的组合。

假设K在0到无穷之间有n个根，s平面上的根轨迹必须围绕s平面的实轴表现出对称性。

2. 根轨迹的起始和终止

这个规则指出，根轨迹必须从开环极点开始，并且必须在开环零点或无穷远处终止。

现在，在这个特定的规则下，我们需要考虑两个条件，这取决于开环极点的个数，即P和开环零点的个数，即Z。

条件我:开环极点数大于开环零点数，即P >z。

那么分支的数量N就等于极点的数量P。因此，对于从每个极点出发的P个分支，Z个分支的数量将在开环0处终止，P-Z个分支的数量将在无穷远处终止。

条件二世:开环极点数小于开环零点数，即Z >p。

因此，对于Z个分支，P个分支将从开环极点位置开始，Z - P个分支将从无穷开始并接近有限的零。

这里需要注意的是，在这两种情况下，分支的方向都是从极点指向零点。

3. 角渐近线

在前面的规则中，我们讨论了P >z或Z >p的根轨迹的两个条件，但一般来说，系统的极点数大于零。P-Z分支趋于无穷。这个规则和这些分支如何趋向无穷有关。

基本上，趋近于无穷的分支以直线的形式出现，也就是渐近线根轨迹。它们围绕实轴对称。

因此，根轨迹渐近线形成的角度为:

:r介于0,1,2——(P - Z - 1)

4. 渐近线在s平面的位置

对于渐近线，据说所有的渐近线在实轴上都有一个交点。这一点被称为重心由σ表示。

因此，质心在实轴上的坐标由:

值得注意的是，质心可能位于根轨迹上，也可能不位于根轨迹上，但它总是存在于负实轴或正实轴上，因为它总是具有真实性质。

5. 实轴上的根轨迹

这个规则是关于根轨迹上的一个点的存在。基本上，s平面实轴上的一个点出现在根轨迹上，如果开环极点和零的总和在该点右侧为奇数。

假设我们有一个零度图，下面给出，我们要检查实轴的哪一部分，根轨迹存在。

考虑点A在实轴上我们要计算它右边所有的极点和0。

因此，在这个点的右边有一个极点和两个0，因此和是奇数一个在根轨迹上。同时,作为点一个隔s = -2和s = -4对于任意点的位置一个在本节中，实轴将是根轨迹的一部分。

此外，如果我们考虑一点B，那么在该点的右边，总的极点和0是4，即偶数。因此，这个点不是根轨迹的一部分。然而，如果这个点在上面给出的图上移动到超过-5的位置，那么条件将发生变化，因为s = -5将使和再次为奇数。

因此，将此规则应用于零极图的不同截面，以检验s平面在根轨迹上的不同截面是否存在。

6. 分离点

断裂点总是存在于根轨迹上，它表示特征方程的多个根在此出现，且K保持在一定的值。

要理解这一点，请考虑如下图所示:

在这里，极点0和-2之间的截面在根轨迹上存在，因此，根据规则，至少有一个分离点在这里存在。

这是因为两个不同的s值从各自的开环极点位置开始，并接近一个共同的值，即s = 1当K从0到1。在K=1处，这是一个断点。从这一点出发，当K趋于无穷时，根就会断开，成为一对复共轭。

此外，分离总是存在于根轨迹上，从上面的图中可以清楚地看出，在该点的右侧，只有一个极点存在，表示极点与零的和的奇数值，这在规则5中讨论过。

7. 离去角

我们知道分支起源于开环极点，因此它与共轭复极点的偏离角称为偏离角。指示为φ_d。

根轨迹与复极的偏离角为:

在哪里

Σφ_p为从要计算出发角的极点的其他极点引出的矢量所形成的角度之和，

Σφ_Z是由极点0处的矢量构成的角度的总和。

8. 根轨迹与s平面虚轴的交点

如果根轨迹与虚轴相交，则可以通过应用来确定根轨迹上的交点Routh-Hurwitz标准。为了找到K的值与根轨迹与虚轴相交的点，Routh数组的第一列中的项等于零。

在下一篇文章中，我们将通过示例来了解这些规则是如何在构建根轨迹的过程中实现的。