控制系统传递函数

定义: a的传递函数控制系统为在初始条件下，输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比，为0。基本上，它提供了系统的输入和输出之间的关系。

对于控制系统，T(s)一般表示传递函数。

在下面的图中，X(s)和Y(s)分别代表输入和输出。

系统的传递为:

传递函数被认为是表示a的适当方式线性定常系统。

我们知道，在控制系统中，系统在应用输入时的行为方式会引起输出的变化。

对于任何系统，首先定义系统的参数，并根据系统的需要选择值。此外，选择输入以确定系统的执行情况。

因此，所获得的输出将代表系统的性能。因此可以表示为:

因此

因此，我们可以说它是一个数学函数，根据应用的输入来解释系统参数，从而得到期望的输出。

的开环和闭环系统具有不同的传递函数。这是因为反馈回路引入了一个闭环系统。

与系统传递函数有关的术语

我们知道传递函数是输出和输入的拉普拉斯变换。表示为多项式在' s '中的比率。

因此，可以写成:

将上式分解为:

: k为系统增益系数。

• 传递函数的极点

传递函数的极点定义为参数s在分母中的替换使无穷大传递函数。

在上面的方程中，如果s被替换成s₁,年代₂年代_n在分母中，这些值作为传递函数的极点。

当分母中的项等于零时，得到的根就称为极点。

设一个具有传递函数的系统:

得到传递函数的极点

这些是上述传递函数的极点。因为把这些值代入到分母中可以得到无穷传递函数。

传递函数的极点一般有三种类型:简单极点、重复极点和共轭极点。

如果值是真实且非重复的，那么这样的极点被称为简单的两极。

例如:s = 0, 2， -4等等。

而当极点的值是重复的，那么这样的极点被称为重复的波兰人。

例如:s = -1， +1， -2， -2等等。

而当存在复共轭极值时，则称为复共轭极点。

例如:s = -2 + j1

s平面的x轴代表两极。

• 传递函数的零点

我们已经讨论过极点由传递函数的分母来表示。然而，传递函数的零点是用分子来计算的。

当把s代入传递函数的分子使传递函数为零时，这些值称为s传递函数的零点。

和极点一样，当分子中的项等于0时，0也是方程的根。

零点还可以分为三种类型，取决于它们是重复的、非重复的还是复杂的共轭对。

考虑系统有一个传递函数:

使传递函数为零

这些是传递函数的零点，因为这些值在替换时使系统的整体传递函数为0。

• 传递函数的特征方程

当系统传递函数的分母等于0时，就得到了该特定系统的特征方程。

传递函数:

特征方程为:

• 传递函数阶数

传递函数的阶数由系统的特征方程确定。它基本上就是特征方程(即分母多项式)中s的最大次幂。

• Pole-Zero情节

当传递函数的所有极点和零点都表示在s平面上。这样的图称为系统的零极图。

• 直流增益

当传递函数的频率分量，即' s '在系统的传递函数中被替换为0时，得到的值就称为直流增益。

计算控制系统传递函数的程序

为了确定任意网络或系统的传递函数，步骤如下:

1. 首先，必须考虑系统中不同的需要变量，写出系统的时域方程。
2. 然后考虑初始条件为零，写出系统时域方程的拉普拉斯变换。
3. 现在从频域方程，也就是拉普拉斯变换，确定输入和输出变量。
4. 此外，最初考虑的变量必须去掉，我们必须把合成方程写成输入和输出变量的形式。
5. 现在，为了得到整个系统的传递函数必须确定输出和输入的拉普拉斯变换的比值。

正如我们已经讨论过的，拉普拉斯变换是确定电网络传递函数的主要步骤。我们知道大多数电网络是由R、L、C等元素组成的。

下表给出了元件电压的时域和频域表达式R,l和C。

因此，利用拉普拉斯域表达式，可以确定任意由R、L、C组成的电网络的传递函数。

考虑如下所示的电网，其传递函数有待确定:

让e_我(t)和e_o(t)分别为电路的输入和输出。

在上述电路中应用KVL，

和

进一步忽略初始条件，对上述方程进行拉普拉斯变换，得到

因此

由于I(s)是引入的变量，所以我们需要将其转换为输入和输出的形式。

从eq4

将I(s)的值代入eq 5中，得到

作为传递函数是输出与输入在拉普拉斯域中的比值。

因此，这就是上述给定电网的传递函数。

优势

1. 利用拉普拉斯变换可以将复杂的时域方程转化为简单的代数形式。
2. 它提供了整个系统以及每个系统组件的数学模型。
3. 对于已知的传递函数，输出响应很容易确定为任何参考输入。
4. 它有助于确定系统的重要参数，如极点、零点等。
5. 利用传递函数可以很容易地分析系统的稳定性。
6. 它有助于将输出与输入联系起来。

缺点

1. 它不适用于非线性系统。
2. 由于忽略了初始条件所产生的影响，因此不考虑初始条件。

这就是控制系统的传递函数。