具有示例的根轨迹结构

根基因座是一种确定稳定性的一种方法控制系统。在上一篇文章中，我们已经讨论了讲述遵循构造根轨迹的规则的根轨迹技术。

在这篇文章中，我们将看到一些关于根轨迹的构造的例子。但在进行这些解决的例子之前，你必须有基本的概念关于构造根轨迹的规则。所以，首先，浏览一下这篇文章根基因座技术。

在进行这些例子之前，让我们看看需要遵循哪些步骤来从系统的传递函数中绘制根轨迹。

绘制根轨迹的一般步骤

1.首先，从给定的系统传递函数出发，必须写出特征方程，通过特征方程确定开环极点和零的个数。在得到极点和零的数量时，根据规则，将确定分支的总数量。

现在，必须绘制磁极零图。一旦形成了S平面图，那么确定根轨迹存在的真实轴的部分。此外，通过一般预测，同时预测分离点的最小数量。

3.接下来，利用公式计算各分支的渐近线的角度。

4. S平面真实轴上的渐近点的点被称为质心，其将通过所需的公式进一步计算。现在，绘制一个草图，直到质心来获得关于轨迹的建造的粗略想法。

5.此外，分离点的确定将使用其测定方法。而在复杂共轭的情况下，必须用角度条件来检验其有效性。

6.确定根轨迹与虚轴的交点。

7.如果适用于上述规则推导出的条件，则计算到达和离开的角度。

8.通过上述步骤和获得值，构造根轨迹的最终草图。现在，通过观察根轨迹，预测系统的稳定性和性能。

建立根轨迹的例子

在这一节，我们将看到一些例子，将帮助你理解根轨迹是如何绘制一个系统，以检查其稳定性。

例二:设封闭系统的传递函数为:

我们必须构建该系统的根基因座，并预测相同的稳定性。

首先，写入上述系统的特征方程，

因此，从上面的等式，我们得到，s = 0，-5和-10。

因此，P = 3, Z = 0，由于P > Z，分支的数量将等于极点的数量。

所以N = P = 3

因此，在这种情况下，分支将从在S平面中从0，-5和-10的位置开始，并且将接近无穷大。

最初，通过一般预测，我们可以说真实轴上的点-5在右侧具有奇数总极数和零。因此，在0到-5之间将有一个分离点。

现在，让我们计算下面给出的配方的渐近角度：

：q位于0到p-z-1之间

在这种情况下，当q = 0,1和2时，θ会被计算出来。

因此，这三个是接近无限远的渐近具有的角度。

现在，我们用下面的公式来检查质心在实轴上的位置:

下面的图是通过上述分析得出的示意图

早些时候，我们已经预测在点0和-5之间的部分将出现一个分离点。所以，现在用确定分离点的方法来检查分离点的有效性。

在该方法中，在区分k上得到的根并将其等同于0，将是分离点。

因此,

要么

因此，求解时得到的根是-2.113和-7.88。

由于根-7.88超出了分离点的预测区段，因此s = -2.113是有效的分离点。

此外，我们可以在等式中取代S = -2.113的值的k值。

因此，在解决，

在这里，获得的K是正价值，因此，s = -2.113.已验证。

现在，我们必须检查root轨迹与虚构轴相交的点。因此，使用这种Routh阵列。

这里采用了一种合适的方法，即利用特征方程和K的形式形成粗糙数组。

因此，Routh的阵列：

现在，求K_3月，除了行s之外，这是从一行Routh数组中的一行中的k的值^0.。

考虑，行s¹， 750 - K = 0

因此,K._m= 750

在此基础上，利用存在于零行之上的行系数，构造辅助方程A(s) = 0。在这种情况下,

所以，取代以上等式中的km，我们将得到，

因此,

因此，这些就是根轨迹与虚轴的交点。

此外，由于两极并不复杂，因此不需要出发角。因此，在断裂点，根位点在±90°处断裂。

因此，完整的根基因座如下所示：

从上面的草图来看，可以分析系统的稳定性K在0到750之间该系统是完全稳定因为完全根轨迹在s平面的左半部分。在K = 750，系统是略微稳定。

而for ..K在750到∞之间，系统是不稳定由于主导根部朝向S平面的右半部分进行。

Example2：考虑下面给出的传输功能的系统，我们必须绘制根轨迹并预测其稳定性。

特征方程提供极点和零。因此，为上述系统写出特征方程：

因此，s = 0，

在解决

s = - 1 + j和-1 - j

因此，这里

p = 3，z = 0，如p> z，所以规则明智n = p = 3

零度分布图如下:

在这里，很清楚，源自S = 0的分支 - ¶。一般预测清楚地说，这里没有分离点。

渐近角度

自

：q位于0到p-z-1之间

这里，当q = 0,1和2时，θ会被计算出来。

现在,重心:

因此，根据以上分析，s平面的示意图如下:

当角θ2时，从s = 0开始的分支趋向于无穷，当角θ1和角θ3时，分别从-1+j和-1-j开始的分支趋向于无穷。

现在，让我们检查脱离点。

所以，在差异化，

要么

分离点的计算方法如下:

因此,

s = - 0.67±j 0.47

现在，因为这里我们有复数共轭，因此，用角度条件来检验这些点作为分离点的有效性。

测试，S = - 0.67 + J 0.47

S = - 0.67 + J 0.47

在解决方面，

由于它不是180°的奇数倍数，因此该点不存在于根轨迹上，因此这里没有分离点。

此外，检查与虚构轴的交叉点。

丰盛的数组

K的值_m= +4让s¹= 0

因此,

用K_m= 4，我们得到，

现在，计算出发角

在复杂的杆子，- 1 + j

所以，这里φ_P1= 135°和φ_P2= 90°

因此，在复杂的杆，- 1 - j那

因此，根据上述确定的值和参数，得到的根轨迹完整示意图如下:

现在说到稳定性，因为k在0到4之间，根出现在S平面的左半部分，代表一个完全稳定的系统。

K = + 4使系统略微稳定因为在虚轴上存在优势根。而对于K > 4系统就会变成不稳定主根位于s平面的右半部分。

这样，通过绘制根轨迹，就可以确定系统的稳定性。